智取威化饼
数学真题中期望和方差的计算主要涉及离散型随机变量的基本公式及特殊分布的求解。以下是核心要点：
一、基础公式数学期望
对于离散型随机变量$X$，其分布列为$P（X=x_i）=p_i$，数学期望$E（X）$的计算公式为： $$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $$
该公式通过加权平均反映随机变量的集中趋势。
方差
方差$D（X）$衡量随机变量与期望值的偏离程度，计算公式为： $$ D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i $$
或者利用数学期望的二次方差公式： $$ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $$
其中$E（X^2）$需先计算$X^2$的期望。
二项分布
在$n$次独立重复试验中，成功次数$X\sim B（n,p）$，期望和方差分别为：
$$
E(X) = np, \quad D(X) = np(1-p)
$$
几何分布
每次试验成功概率为$p$，试验次数$X$服从几何分布，期望和方差为： $$ E(X) = \frac{1}{p}, \quad D(X) = \frac{p}{q} $$
其中$q=1-p$。
公式应用 ：需根据题目中随机变量的类型选择合适公式，离散型与连续型分布的方差计算存在差异。
易错点 ：注意区分期望与方差的概念，期望可正可负，而方差必非负；避免混淆平均偏差与标准差。
通过以上公式和分布特性的掌握，可系统解决高考等场景中的期望与方差计算问题。
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数学期望和方差是随机变量的重要统计特征，具有重要的意义：
数学期望：又称为均值，是指随机变量取值的平均值。对于离散型随机变量，数学期望定义为：E(X)=Σ(x*p(x))，其中，x是随机变量的取值，p(x)是相应的概率。对于连续型随机变量，数学期望的定义稍有不同：E(X)=∫(x*f(x))dx，其中，f(x)是随机变量的概率密度函数。数学期望具有以下性质：如果将随机变量分成若干部分，那么每一部分的数学期望等于该部分的平均值；如果将随机变量进行线性变换，那么变换后的随机变量的数学期望等于原随机变量的数学期望进行同样的线性变换；如果随机变量是两个独立随机变量的和，那么它们的数学期望也是相加的。
方差：是衡量随机变量离散程度的重要指标。对于离散型随机变量，方差定义为：Var(X)=Σ((x-E(X))^2*p(x))。对于连续型随机变量，方差的定义类似：Var(X)=∫((x-E(X))^2*f(x))dx。方差具有以下性质：如果将随机变量乘以一个常数，那么方差将乘以这个常数的平方；如果对两个独立的随机变量进行线性变换，那么变换后的随机变量的方差等于原随机变量的方差之和；对于任何随机变量，方差的取值范围是非负的。
综上所述，数学期望和方差是概率论和统计学中的基本概念，它们在理论研究和实际应用中都扮演着至关重要的角色。通过理解和掌握这两个概念，我们可以更好地分析和预测随机现象的发展趋势，并在此基础上做出更加科学合理的决策。
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