高考函数的大题真题

高考数学函数大题真题通常涉及函数的基本性质、导数应用、不等式证明等核心内容，题型多样且综合性强。以下是近年高考函数大题的典型题型及解题思路：

1. 单调性与极值

   通过求导判断函数在区间内的单调性，结合导数零点确定极值点。例如：

   • 求函数$f（x）=x^3-3x^2+1$在$（-\infty,+\infty）$上的单调区间和极值。

2. 不等式证明

   利用导数证明函数满足特定不等式。例如：

   • 证明当$a>0$时，$f（x）=e^x+ax\geq x+1$对任意$x\in R$成立。

1. 奇偶性与周期性

   通过$f（-x）$判断奇偶性，结合周期函数的定义证明周期性。例如：

   • 证明$y=\sin（x^2）$是偶函数。

2. 最值问题

   求函数在闭区间上的最大值和最小值，可能涉及导数法或配方法。例如：

   • 求$f（x）=x+\frac{1}{x}$在$（0,1]$上的最小值。

1. 函数方程与不等式结合

   通过构造函数解决含参数的函数方程或不等式。例如：

   • 已知$f（x+y）=f（x）f（y）$且$f（0）=1$，证明$f（x）=a^x$（$a>0$）。

2. 三角函数与代数结合

   结合三角函数性质解决代数问题，如化简、求值等。例如：

   • 已知$\sin\alpha+\cos\alpha=1$，求$\frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha}$的值。

1. 切线方程与法线方程

   求曲线在某点的切线或法线方程。例如：

   • 求$y=\ln x$在点$（1,0）$处的切线方程。

2. 函数图像变换

   通过平移、伸缩等变换分析函数图像。例如：

   • 将$y=\sin x$的图像向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位，再纵坐标伸长2倍，得到新函数解析式。

• 基础巩固 ：熟练掌握基本函数性质（如导数公式、三角函数公式）；

• 题型训练 ：通过历年真题和模拟题进行分类练习；

• 错题反思 ：分析错误原因，避免重复犯错。

以上题型覆盖了高考函数大题的主要考点，建议结合教材和辅导资料系统学习。

以下是近年来高考数学函数大题的真题示例：

1. 2015年高考山东卷理科数学第16题

   • 设函数$ f(x) = \sin x \cos x + \cos^2 x $。
     • （Ⅰ）求$ f(x) $的单调区间；
     • （Ⅱ）在锐角$ \triangle ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 f(0) = a ，求 \triangle ABC $面积的最大值。

2. 2015年高考天津卷理科数学第15题

   • 已知函数$ f(x) = \sin^2 x - \sin^2 x ， x \in \mathbb{R} $。
     • （I）求$ f(x) $的最小正周期；
     • （II）求$ f(x) $在区间[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} ]上的最大值和最小值。

3. 2015年高考安徽卷理科数学第16题

   • 在$ \triangle ABC 中， A, AB = 6, AC = 3\sqrt{2} ，点 D 在边 BC 上，且 AD \perp BD ，求 AD $的长。

4. 2015年高考重庆卷理科数学第18题

   • 已知函数$ f(x) = \sin x \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 3\cos^2 x $。
     • （1）求$ f(x) $的最小正周期和最大值；
     • （2）讨论$ f(x) $在[ 0, \pi ]上的单调性。

这些题目涵盖了函数的各种性质和应用，包括单调性、最值、周期性以及与三角形结合的问题。考生在备考时应该熟练掌握这些知识点，并通过大量的练习来提高解题能力。

‌高考函数的大题真题‌通常包括涉及函数定义、性质、图像、导数以及应用等方面的题目。以下是一些典型的高考函数大题真题示例及其解析：

1. ‌函数定义与性质‌：

   • ‌题目‌：设函数 $f(x) = \log_2(x^2 + ax - a)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，求实数 $a$ 的取值范围。
   • ‌解析‌：由于对数函数的定义域要求内部表达式 $x^2 + ax - a > 0$ 对于所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立。因此，需要讨论 $a$ 的不同取值情况，确保二次函数没有负数解。

2. ‌函数图像与性质‌：

   • ‌题目‌：已知函数 $f(x) = \sin x + \cos x$，求 $f(x)$ 的最小正周期，并判断 $f(x)$ 的奇偶性。
   • ‌解析‌：首先，利用三角函数的和角公式将 $f(x)$ 化简为 $f(x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$。然后，根据正弦函数的周期性和奇偶性定义，可以得出 $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$，并且 $f(x)$ 是奇函数。

3. ‌导数应用‌：

   • ‌题目‌：已知函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - a$，求 $f(x)$ 的极值点，并讨论 $f(x)$ 在区间 $[0, 3]$ 上的单调性。
   • ‌解析‌：首先求导数 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 12$，然后令 $f'(x) = 0$ 解得极值点。接着，分析导数的符号变化，确定函数在区间 $[0, 3]$ 上的单调性。

这些题目不仅考察了学生对函数基本概念的理解，还涉及了导数、极值、单调性等高级概念的应用。通过练习这些题目，学生可以更好地掌握函数的相关知识，并在高考中取得好成绩。