高考向量题目真题

以下是近年高考向量部分的典型真题及解析，涵盖向量运算、几何应用及综合问题：

1. 垂直与平行问题

   已知$\vec{a}=（3,1）$，$\vec{b}=（x,-3）$，且$\vec{a}\perp\vec{b}$，求$x$。

   解 ：由$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，得$3x-3=0$，解得$x=1$。

   答案：C. 1

2. 模长与夹角问题

   已知$\vec{a}=（1,2）$，$\vec{b}=（-2,-4）$，求$\vec{a}$与$\vec{c}$的夹角（设$\vec{c}=k\vec{a}$）。

   解 ：$\vec{c}=k（1,2）$，$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{|\vec{a}||\vec{c}|}=k$，由$\vec{a}\cdot\vec{b}=-6$，得$k=-1$，$\theta=120^\circ$。

   答案：D. 120°

3. 三角形与向量

   已知$A（3,1）$，$B（6,1）$，$C（4,3）$，求向量$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{DA}$的夹角。

   解 ：$\overrightarrow{AC}=（1,2）$，$\overrightarrow{DA}=（2,-2）$，$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DA}}{|\overrightarrow{AC||\overrightarrow{DA}|}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\theta=135^\circ$。 答案：C. 135°

4. 向量投影问题

   已知$\vec{a}=（1,0）$，$\vec{b}=（2,\sqrt{3}）$，求$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影长度。

   解 ：$\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}=\frac{2}{7}（2,\sqrt{3}）$，长度为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$。

   答案：需进一步计算

5. 参数方程与向量

   已知$\vec{a}=（1,-2）$，$\vec{b}=（2,-1）$，且$\vec{a}-2\vec{b}\perp\vec{a}$，求$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角。

   解 ：$\vec{a}-2\vec{b}=（-3,2）$，由$（\vec{a}-2\vec{b}）\cdot\vec{a}=0$，得$3-4=0$，矛盾，需重新分析条件。 答案：需重新审视条件

6. 几何图像分析

   已知向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$60^\circ$，且$|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=4$，求$\vec{a}+\vec{b}$的模长。

   解 ：$|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos60^\circ=4+16+8=28$，$|\vec{a}+\vec{b}|=2\sqrt{7}$。 答案：C. $2\sqrt{7}$

7. 向量平行条件

   已知$\vec{a}=（2,5）$，$\vec{b}=（4,k）$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$k=\underline{\quad}$。

   解 ：$2k=5\times4$，得$k=10$。

   答案：10

8. 向量垂直参数

   已知$\vec{a}=（0,1）$，$\vec{

数学向量在高考中是一个重要的考点，它涉及到向量的基本概念、运算、坐标表示以及向量在几何和物理中的应用等多个方面。以下是一些关于数学向量高考真题的相关信息：

1. 基本概念：向量的概念是向量的基础，包括向量的定义、向量的模、零向量、单位向量等。这些概念是解决向量问题的前提和基础。

2. 运算：向量的运算包括向量的加法、减法、数乘以及向量的数量积和向量积。这些运算是解决向量问题的主要工具，需要掌握它们的定义、性质和运算法则。

3. 坐标表示：向量的坐标表示是将向量用坐标的形式表示出来，这对于解决向量问题非常方便。需要掌握如何将向量用坐标表示，以及如何进行坐标运算。

4. 几何和物理应用：向量在几何和物理中有广泛的应用，如力的合成与分解、速度的合成与分解等。需要掌握如何将实际问题转化为向量问题，并利用向量知识解决问题。

5. 高考真题解析：通过对历年高考试题的分析，可以看出向量题目通常考查学生的综合运用能力，包括对基础知识的理解、对运算技巧的掌握以及对实际问题的分析能力。例如，2017年全国卷Ⅰ第3题考查了平面向量的线性运算，2018年全国卷Ⅲ第14题考查了平面向量的数量积。

综上所述，数学向量在高考中是一个重要的考点，它不仅考查学生对基础知识的掌握情况，还考查学生的综合运用能力和解题技巧。因此，考生在复习时应该注重基础知识的学习和巩固，同时也要多做一些练习题，提高自己的解题能力。

‌高考向量题目真题‌通常涉及平面向量和空间向量的概念、运算及其应用。以下是一些具体的真题示例及其解析：

1. ‌2024年河北高三学业考试题‌：

   • 已知向量 $\vec{a} = (-1, 2)$，$\vec{b} = (0, 1)$，求 $\vec{a} - 2\vec{b}$ 的坐标。
   • ‌答案‌：$(-1, 0)$‌。

2. ‌2024年江苏扬州中学模拟题‌：

   • 已知向量 $\vec{a} = (m^2, -9)$，$\vec{b} = (1, -1)$，判断“$m = -3$”是“$\vec{a} \parallel \vec{b}$”的什么条件。
   • ‌答案‌：必要不充分条件‌。

3. ‌2024年江苏南京宁海中学校考题‌：

   • 已知非零向量 $\vec{e_1}$ 和 $\vec{e_2}$ 不共线，且 $\vec{AB} = \vec{e_1} + \vec{e_2}$，$\vec{AC} = -3\vec{e_1} + 7\vec{e_2}$，$\vec{AD} = 2\vec{e_1} - 3\vec{e_2}$，判断四点 A, B, C, D 的关系。
   • ‌答案‌：一定共面‌。

4. ‌2024年河北邢台模拟题‌：

   • 在正方形网格中，用基底 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ 表示向量 $\vec{c}$。
   • ‌答案‌：$\vec{c} = -3\vec{a} + 2\vec{b}$‌。

5. ‌2019年江苏高考数学真题‌：

   • 利用基底法和坐标法求解向量数量积问题。
   • ‌解析‌：选择 $\vec{AB}$ 和 $\vec{AC}$ 作为基底，表示 $\vec{AO}$ 和 $\vec{EC}$，然后计算它们的数量积，最后根据等量关系求出 $\frac{AB}{AC}$ 的值‌。