函数压轴题高考真题

高考数学中的函数压轴题通常具有以下特点：

1. 综合性强 ：压轴题往往涉及多个数学知识点，如导数、积分、不等式、方程等，需要考生具备扎实的基础和综合运用能力。

2. 难度较大 ：由于压轴题在整张试卷中难度相对较高，因此能够较好地考察学生的数学思维能力和解题技巧。

3. 题型多样 ：包括但不限于讨论函数的单调性、极值点、零点、最值等问题，有时还会涉及函数图像的对称性、周期性等。

4. 分情况讨论 ：很多压轴题需要根据参数取值的不同情况进行分情况讨论，这要求考生具备严谨的逻辑思维和分类讨论的能力。

以下是一些具体的高考数学函数压轴题示例：

1. 2018年数学全国1卷 ：

• 已知函数 $f（x） = ax\ln x$，讨论其单调性；

• 若 $f（x）$ 存在两个极值点 $x_1, x_2$，证明 $f（x_1）f（x_2） = ax_1x_2$。

2. 2016年数学全国1卷 ：

• 已知函数 $f（x） = x^2e^x$，求其导数并讨论其单调性；

• 若 $f（x）$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围，并证明 $x_1x_2 = 2$。

3. 2017年数学全国1卷 ：

• 已知函数 $f（x） = ae^{2x} + （a - 2）e^x - x$，讨论其单调性；

• 若 $f（x）$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围。

4. 2021年数学全国1卷 ：

• 已知函数 $f（x） = x^3 - 3x + 1$，求其导数并讨论其单调性；

• 若 $f（x）$ 在区间 $[a, b]$ 上单调递增，求 $a, b$ 的取值范围。

5. 2022年数学全国1卷 ：

• 已知函数 $f（x） = x^2 + bx + c$，讨论其单调性；

• 若 $f（x）$ 在 $x = 2$ 处取得极小值 4，求 $b, c$ 的取值范围，并证明 $f（x） \geq 4$ 对于所有 $x$ 成立。

这些题目不仅考察了学生对函数基本性质的理解和掌握，还考察了他们的逻辑思维、分类讨论和数学表达能力。因此，建议考生在备考过程中加强对这些知识点的训练，并多做真题和模拟题，以提高解题能力和应试技巧。

函数压轴题在高考数学中通常指的是那些难度较高、考察知识点较为综合的题目。这类题目往往出现在试卷的最后部分，是对学生数学能力的全面检验。以下是近年来高考数学中出现的一些函数压轴题的例子：

1. 2018年数学全国1卷：已知函数$f(x)=\ln x-ax+\frac{a}{x}$，其中$a>0$。若$f(x)$存在两个极值点$x_1$和$x_2$，证明：$f(x_1)+f(x_2)>2-a(x_1+x_2)-\ln a$。

2. 2017年数学全国1卷：已知函数$f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x-x$。讨论$f(x)$的单调性，并求使得$f(x)$有两个零点的$a$的取值范围。

3. 2016年数学全国1卷：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+ax+a$。讨论$f(x)$的单调性、极值，并证明：若$f(x)$有三个不同的零点，则其零点之和为3。

这些题目不仅要求考生掌握基本的函数知识，还需要具备较强的逻辑推理能力和问题解决能力。通过对这些真题的分析和解答，可以帮助考生更好地理解和应对高考数学中的函数压轴题。

‌2024年高考数学新课标Ⅰ卷的解答题T18是一道涉及导数和函数性质的压轴大题‌。题目给出了一个函数$f(x) = \frac{\ln(x^2 + ax + b)}{(x-1)^3} - x$，并提出了以下两个问题：

1. 若$b=0$，且$f'(x) \geq 0$，求$a$的最小值。
2. 证明曲线$y=f(x)$是中心对称图形‌。

这类题目通常涉及以下难点：

• ‌参数分类的边界值‌：在解决问题时，参数的分类和边界值的处理是一个重要难点。
• ‌二阶导数的讨论‌：在求解过程中，二阶导数的讨论是必要的步骤，帮助确定函数的性质。
• ‌函数的调整‌：有时需要对函数进行调整，以简化求解过程，但这需要较高的技巧和准确性。
• ‌极限知识‌：在处理复杂函数时，极限知识是解决问题的关键。
• ‌图象的凹凸性‌：涉及图象凹凸性的题目在高考中也很常见，需要理解函数图像的变化规律‌。