全国高考22题数学真题

2022年全国高考数学试题（新高考Ⅰ卷）的第22题如下：

22.（12 分） 已知函数 $f（x） = e^x - ax$ 和 $g（x） = ax - \ln x$ 有相同的最小值。

（1） 求 $a$；

（2） 证明：存在直线 $y = b$，其与两条曲线 $y = f（x）$ 和 $y = g（x）$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

解答：

（1） 首先求 $f（x）$ 和 $g（x）$ 的导数：

$$f'(x) = e^x - a$$

$$g'(x) = a - \frac{1}{x}$$

令 $f'（x） = 0$，得：

$$e^x - a = 0$$ $$x = \ln a$$

将 $x = \ln a$ 代入 $f（x）$，得：

$$f(\ln a) = e^{\ln a} - a \ln a = a - a \ln a$$

令 $g'（x） = 0$，得：

$$a - \frac{1}{x} = 0$$

$$x = \frac{1}{a}$$

将 $x = \frac{1}{a}$ 代入 $g（x）$，得：

$$g\left(\frac{1}{a}\right) = a \cdot \frac{1}{a} - \ln \left(\frac{1}{a}\right) = 1 + \ln a$$

由于 $f（x）$ 和 $g（x）$ 有相同的最小值，所以：

$$a - a \ln a = 1 + \ln a$$

$$a(1 - \ln a) = 1 + \ln a$$

$$a = \frac{1 + \ln a}{1 - \ln a}$$

令 $t = \ln a$，则：

$$\frac{1 + t}{1 - t} = e^t$$

$$1 + t = e^t (1 - t)$$ $$1 + t = e^t - te^t$$

$$1 + t = e^t (1 - t)$$

$$1 + t = e^t - t$$ $$2t = e^t - 1$$

$$t = \frac{e^t - 1}{2}$$

解此方程得：

$$t = 1$$ $$\ln a = 1$$ $$a = e$$

（2） 由 （1） 可得 $a = e$，则 $f（x） = e^x - ex$ 和 $g（x） = ex - \ln x$。

考虑 $y = b$ 与 $y = f（x）$ 和 $y = g（x）$ 的交点：

$$e^x - ex = b$$

$$ex - \ln x = b$$

设 $x_1, x_2, x_3$ 为三个交点的横坐标，且 $x_1 < x_2 < x_3$，则有：

$$e^{x_1} - ex_1 = b$$

$$ex_1 - \ln x_1 = b$$ $$e^{x_2} - ex_2 = b$$

$$ex_2 - \ln x_2 = b$$

$$e^{x_3} - ex_3 = b$$

$$ex_3 - \ln x_3 = b$$

由于 $x_1, x_2, x_3$ 成等差数列，设公差为 $d$，则：

$$x_2 = x_1 + d$$

$$x_3 = x_1 + 2d$$

将 $x_2$ 和 $x_3$ 代入 $f（x）$ 和 $g（x）$，得：

$$e^{x_1 + d} - e(x_1 + d) = b$$

$$e(x_1 + d) - \ln (x_1 + d) = b$$

$$e^{x_1 + 2d} - e(x_1 + 2d) = b$$

$$e(x_1 + 2d) - \ln (x_1 + 2d) = b$$

由于 $b$ 相同，可得：

$$e^{x

由于您提供的搜索结果为空，我无法直接引用具体的高考数学真题。不过，我可以告诉您关于全国高考数学试题的一些基本信息。

全国高考数学试题通常分为选择题、填空题和解答题三个部分。其中，解答题部分往往包括多个小题，每个小题考察不同的知识点和解题能力。第22题通常是解答题的最后一题，难度较大，涉及的知识点较为综合。

1. 综合性强：第22题通常会结合多个知识点，如函数、导数、几何等，考察学生的综合运用能力。
2. 难度较高：作为解答题的最后一题，第22题的难度相对较高，需要学生具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。
3. 分值较高：由于难度较大，第22题的分值也相对较高，对学生的总成绩有较大影响。

1. 扎实基础：确保对各个知识点有深入的理解和掌握。
2. 多做练习：通过大量的练习题，尤其是历年真题，提高解题速度和准确率。
3. 总结方法：在做题过程中，总结出一些常用的解题方法和技巧，以便在考试中快速应用。

如果您需要具体的历年真题，建议查阅相关的高考资料书籍或访问教育部门的官方网站获取最新的试题信息。