高考求外接球真题

高考求外接球的真题是指 在高考数学试卷中涉及求解空间几何体的外接球的问题 。这些问题通常要求学生掌握空间几何体的性质和球的几何知识，能够运用公式和定理来求解外接球的半径、表面积或体积等。

以下是一些关于高考求外接球真题的信息：

1. 题型 ：

• 公式法 ：利用正方体或长方体的体对角线公式求解外接球的半径。

• 补形法 ：将不规则几何体补成规则几何体（如长方体），再利用规则几何体的外接球公式求解。

• 单面定球心法 ：通过确定一个面及其外接圆圆心，再结合垂直关系求解球心位置和半径。

• 双面定球心法 ：通过两次单面定球心法求解复杂几何体的外接球。

2. 考点 ：

• 空间几何体的性质 ：包括体对角线、棱长、角度等。

• 球的几何知识 ：包括球的表面积公式 \（4\pi R^2\） 和体积公式 \（\frac{4}{3}\pi R^3\）。

• 数形结合思想 ：将几何问题转化为代数问题，再利用代数方法求解。

3. 例题 ：

• 正方体的外接球 ：如2006年广东高考题，要求求解棱长为3的正方体的外接球的表面积。

• 长方体的外接球 ：如2007年天津高考题，要求求解各顶点均在同一球面上的长方体的球的半径。

• 正四棱锥的外接球 ：如2022年新高考I卷，已知正四棱锥的侧棱长和球的体积，求正四棱锥体积的取值范围。

• 正三棱台的外接球 ：如2022年新高考II卷，已知正三棱台的高和上下底面的边长，求球的表面积。

这些真题涵盖了外接球问题的多种题型和考点，是高考数学中的重要内容。通过解答这些问题，学生可以加深对空间几何体和球的几何知识的理解，提高解题能力和空间想象力。

以下是近年来高考中关于外接球问题的真题示例：

1. （2022·全国·高考真题） 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）

   • A.
   • B.
   • C.
   • D.

2. （全国高考真题） 已知，是半径为的球的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O−ABC的体积为（ ）

3. （全国高考真题） 已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

   • A. 100π
   • B. 128π
   • C. 144π
   • D. 192π

4. （全国高考真题） 已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上若该球的体积为36π，则该正四棱锥的高为（ ）

这些题目涵盖了不同类型的外接球问题，包括正方体、四棱锥、三棱台等，考察了学生对立体几何知识的理解和应用能力。

‌高考数学中常见的外接球真题类型包括以下几种‌：

1. ‌墙角模型的外接球‌：这种模型通常涉及一个四面体，可以通过将其放入一个长方体或正方体中来求解。外接球的球心通常位于长方体或正方体的中心或对角线的某个特定点上‌。

2. ‌长方体或正方体的外接球‌：对于长方体或正方体的外接球问题，可以直接使用公式 $R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$，其中 $a$、$b$、$c$ 分别是长方体或正方体的长、宽、高‌。

3. ‌直三棱柱、圆柱和棱锥的外接球‌：对于这些柱体和锥体的外接球问题，可以使用公式 $R = r + h$，其中 $R$ 是外接球的半径，$r$ 是底面外接圆的半径，$h$ 是柱体的高或棱锥的垂直侧棱长‌。

‌具体例题和解析‌：

1. ‌正六棱柱的外接球问题‌：

   • 已知正六棱柱的所有棱长均为2，求该正六棱柱的外接球的体积。
   • 解析：正六棱柱可以放入一个正方体中，外接球的半径 $R = \sqrt{3}$，体积为 $\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \times \sqrt{3}^3 = 12\sqrt{3}\pi$。

2. ‌三棱锥的外接球问题‌：

   • 在三棱锥 $P-ABC$ 中，$\angle ABP = 45^\circ$，$AC \perp$ 平面 $PAB$，$AB = 6$，$AC = 10$，$BP = 22$，求三棱锥 $P-ABC$ 外接球的表面积。
   • 解析：外接球的半径可以通过空间几何关系计算得出，最终表面积为 $144\pi$。

3. ‌圆柱的外接球问题‌：

   • 已知圆柱的底面半径为1，侧面积为 $10\pi$，求该圆柱外接球的表面积。
   • 解析：外接球的半径可以通过几何关系计算得出，最终表面积为 $4\pi$。

这些真题和解析帮助理解高考数学中外接球问题的常见类型和解决方法。